おうぎ形について学ぼう～弧の長さ・中心角・面積の求め方～

中学数学では、これまでの学習で学んできた図形のほかに新しく「おうぎ形」という図形を学習していきます。

図形の学習まで来ると、新しく数学の知識を学ぶことに対して抵抗感が生まれている学生さんも少なくないと思いますが、おうぎ形は円の特徴が身についていれば、そんなに難しくありません。

このページでは、新しい図形「おうぎ形」についての特徴や、おうぎ形の計算問題に関する内容を解説していきます。

 

おうぎ形とは何か？

まず始めに、おうぎ形について特徴などを解説していきます。

おうぎ形は、円周上の2点を結ぶ弧と、その弧に対応する2つの半径によって囲まれる図形です。その名の通り、日本の伝統的な扇子（せんす）のような形状をしていることから「おうぎ形」と呼ばれています。

構成要素

おうぎ形は以下の3つの要素から成り立っています。

• 弧（こ）：円周上の一部分。おうぎ形の外側の曲線部分に該当します。
• 半径（はんけい）：円の中心から弧上の2点へ伸びる直線。これがおうぎ形の両側を構成します。
• 中心角（ちゅうしんかく）：円の中心で作られる角度。この角度が広がるほど、おうぎ形は大きくなります。

 

おうぎ形の特徴

上記でおうぎ形の基本的な構造を解説したので、ここからは特徴について解説していきます。

1. 円との関係

冒頭でも述べたとおり、おうぎ形は円の知識がしっかりと身についていればそんなに難しくありません。

その理由はおうぎ形は円全体を分割した一部分であるからです。

そのため、円全体との比率で性質が決まります。たとえば、弧の長さや面積は、中心角が360°に対してどれだけ占めているかによって計算されます。

2. 対称性

おうぎ形は左右対称であり、中心角や半径が等しい場合には同じ大きさ・面積になります。この対称性が計算や図形問題を解く際に役立ちます。

3. 応用範囲

おうぎ形は数学だけでなく、現実世界でもさまざまな場面で見られます。

たとえば、ピザやケーキを切り分けた際の一切れもおうぎ形に似ています。また、建築やデザインにもその性質が応用されています。

ここまで、おうぎ形とは何か、その基本的な特徴について説明しました。おうぎ形は円と深い関係があり、その構造や性質を理解することで、後述する計算方法もスムーズに学べるようになります。

この後の計算部分の解説に進む際には、この基本的な知識を活用しながら、弧の長さや面積など具体的な計算方法について学んでいきましょう。

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おうぎ形の計算方法を学ぼう

前半部分では、おうぎ形の基本的な特徴について学びました。

ここからは、おうぎ形に関する具体的な計算方法について解説していきます。ここでは、弧の長さ、中心角、面積の求め方を順を追って説明します。これらの計算方法を理解することで、図形の問題を考える際に考え方の幅が広がってきます。

弧の長さの求め方

まず始めに弧の長さの求め方について解説します。

弧の長さは、おうぎ形の外側にある曲線部分の長さです。この弧の長さを求めるためには、円全体の円周とおうぎ形の中心角を利用します。

公式

弧の長さ$L$ は以下の公式で求められます。
$L=2\pi$$r\frac{\theta}{360}$

ここで、

• $r$は円の半径
• $\theta$はおうぎ形の中心角（度数法で表記）
• $2\pi$$r$は円の円周

例題

半径が5cmの円において、中心角が90°のおうぎ形の弧の長さを求めてみましょう。

$L=2\pi・5・\frac{90}{360}$

$L=10\pi・\frac{1}{4}$

$L=\frac{5}{2}\pi$

したがって、弧の長さは$\frac{5}{2}\pi$cmとなります。

中心角の求め方

続いて中心角の求め方について解説していきます。

中心角は、おうぎ形が円全体に対してどれだけ占めているかを表す角度です。弧の長さや円全体との関係から中心角を逆算することも可能です。

公式

中心角$\theta$は以下で求められます。

$\theta=\frac{L}{2\pi r}・360$

ここで、

• $L$は弧の長さ
• $r$は円の半径

例題

半径が6cmの円において、弧の長さが$4\pi$cmの場合、中心角を求めてみましょう。

$\theta=\frac{4\pi}{2\pi・6}・360$

$\theta=\frac{4}{12}・360=120$

したがって、この場合、おうぎ形の中心角は120°であることがわかります。

面積の求め方

最後におうぎ形の面積の求め方について解説します。

おうぎ形の面積は、円全体の面積と中心角との比率から計算できます。これは弧や中心角と同様に、円全体との関係性を利用したものです。

公式

面積$S$は以下で求められます。

$S=\pi r^2・\frac{\theta}{360}$

ここで、

• $r^2$は半径を2乗した値（円全体の面積に関連）
• $\theta$は中心角（度数法）

例題

半径が4 cmの円において、中心角が120°のおうぎ形の面積を求めてみましょう。

$S=\pi・4^2・\frac{120}{360}$

$S=16\pi・\frac{1}{3}$

$S=\frac{16}{3}\pi$

したがって、面積は$\frac{16}{3}cm^2$となります。

 

まとめ

このページでは、おうぎ形の特徴や計算について解説をしていきました。

改めての復讐ですが、おうぎ形に関する計算はすべて「円全体との比率」を基準として行われます。弧の長さ、中心角、面積はいずれも公式に当てはめることで簡単に求めることができます。これらを正確に理解し活用することで、中学数学における図形問題では考え方の幅がかなり広がってきます。

おうぎ形の知識は平面図形に限らず、空間図形でも利用することができるので、今回学習した内容をしっかりと理解して、引き続き学習を進めていくようにしましょう。

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中学1年〜高校3年	週1日〜週3日	あり（初月のみ） 16,500円（税込）	数学