関数の基礎：変数と変域を理解しよう

関数は中学数学で初めて学習する文字を使った2つの数字の関係を表す重要な概念であり、日常生活や科学の様々な場面で活用されています。

このページでは、関数の基本的な概念、特に変数と変域について、初めて学ぶ方にも分かりやすく解説していきます。

関数の基本形、変数の意味、変域の種類（開区間、閉区間、半開区間）について学ぶことで、数学の数式の意味や文字の条件をイメージしながら問題を解いていく力が身についていき、より複雑な問題解決にも応用できる力を身につけることができます。

関数を学ぶ上で、文字式や一次式の基礎が身についていないと難しく感じるかもしれないので、もしまだ文字式や一次式の基礎に不安がある人は下記のページの内容を復習してからこのページを読んでみてください。

【文字式の計算①】一次式と一次方程式の基本と解き方

このページでは、中学数学の基礎である一次式と一次方程式について解説しています。一次式は同類項の結合や分配法則を用い、一次方程式は移項や割り算で解きます。実生活の問題にも応用され、基本的な解法を習得することが重要です。

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関数とは何か：基本概念の理解
変域とは：関数の値の範囲を理解する
関数のグラフと変域の関係
関数の応用：日常生活での活用
まとめ

関数とは何か：基本概念の理解

関数とは、ある数量と別の数量との間の決まった対応関係を表すものです。簡単に言えば、2つの未知数の関係を数式で表したものです。

例えば、円の半径と面積の関係や、時間と距離の関係などが関数で表されます。関数を理解することで、様々な現象を数学的に表現し、分析することが可能になります。

関数の基本形は、$y=f(x)$と表されます。この数式は「$y$は$x$の関数」ということを表しています。例えば、$y=2x+1$という関数では、$x$に任意の数を代入すると、それに対応する$y$の値が一意に決まります。

関数を学ぶ上で重要なのは、変数の概念です。変数とは、様々な値をとり得る数量を表す文字のことです。通常、$x$や$y$などのアルファベットが使用されます。変数を使うことで、具体的な数値だけでなく、一般的な関係性を表現することができます。

変域とは：関数の値の範囲を理解する

変域とは、関数の取り得る値の範囲のことを指します。$y=f(x)$の場合、$x$の取り得る値の範囲を定義域、それに対応する$y$の取り得る値の範囲を値域と呼びます。変域を理解することは、関数のグラフを描いたり、関数の性質を分析したりする上で非常に重要です。

変域を表現する際、開区間、閉区間、半開区間という概念が用いられます。これらの概念を理解することで、より正確に関数の振る舞いを記述することができます。

1.開区間

開区間とは、両端の値を含まない区間のことです。例えば、$0<x<5$は、0より大きく5未満の実数全体を表します。記号では(0,5)と表記されます。

2.閉区間

閉区間とは、両端の値を含む区間のことです。例えば、0$\leqq$$x$$\leqq$5は、0以上5以下の実数全体を表します。記号では[0,5] と表記されます。

3. 半開区間

半開区間とは、一方の端点を含み、もう一方の端点を含まない区間のことです。例えば、0$\leqq$$x$<5は、0以上5未満の実数全体を表します。記号では[0,5)と表記されます。

これらの区間の概念を用いることで、関数の定義域や値域を正確に表現することができます。例えば、$y=x$という関数の定義域は -$\infty$$\leqq$$x$$\leqq$$\infty$、つまり[-$\infty$,$\infty$] と表されます。

関数の変域を理解することで、関数のグラフがどのような形になるか、どのような値を取り得るかを予測することができます。これは、より複雑な関数を扱う際や、実際の問題に関数を応用する際に非常に役立ちます。

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関数のグラフと変域の関係

関数のグラフを描くことは、関数の性質を視覚的に理解する上で非常に重要です。グラフを描く際、変域の概念が大きく関わってきます。

例えば、$y=2x+1$という一次関数を考えてみましょう。この関数の定義域は全ての実数（-$\infty$ <$x$<$\infty$）です。グラフを描く際には、$x$の値をいくつか選んで、それに対応する$y$の値を求め、点をプロットしていきます。そうすると、右上がりの直線が描かれます。

関数の応用：日常生活での活用

関数の概念は、日常生活の様々な場面で活用されています。以下にいくつかの例を挙げてみましょう。

1.料金計算

タクシーの料金は、走行距離に応じて決まります。これは、距離を変数$x$、料金を変数$y$とする関数で表すことができます。例えば、初乗り料金が500円で、1km走るごとに300円加算される場合、$y=300x+500$という一次関数で表されます。

2.温度の換算

摂氏温度と華氏温度の関係も関数で表すことができます。摂氏温度を$C$、華氏温度を$F$とすると、$F=\frac{9}{5}C+32$という関数で表されます。

3. 面積と半径の長さ

円の半径を$r$、面積を$S$とすると、$S=$$\pi$$r^2$ という関数で表されます。

4. 人口の増加

ある地域の人口増加を簡単なモデルで表す場合、時間$t$と人口$P$の関係を関数として表すことができます。例えば、毎年一定の割合で増加する場合、$P=P_0(1+r)^ᵗ$ という関数で表されます（$P_0$は初期人口、$r$は増加率）。

これらの例からわかるように、関数は身近な現象を数学的に表現するのに役立ちます。関数の基本的な概念を理解することで、日常生活の様々な場面で数学的な考え方を活用することができます。

まとめ

このページでは、関数の基本概念、特に変数と変域について解説しました。関数とは、ある数量と別の数量との間の決まった対応関係を表すものであり、$y=f(x)$という基本形で表されます。変数は様々な値をとり得る数量を表し、変域は関数の取り得る値の範囲を指します。

ここで説明したことは、初めて学習した人にとっては難しく感じることもあったと思います。ですが、関数をしっかりと理解して使いこなせるようになると、これから学んでいく様々な数学の学習分野で関数を活かして知識を深めていくことができます。

さらに、数学において文字や数式の意味を理解して学習をすることができるようになるので、理解も早くなり数学を楽しく学習することができます。

ここで学習したことをしっかりと復習し、まずは基本的な内容を自分のものとして定着できるようにしましょう。