開区間・閉区間の違いがスッキリわかる！変域とは何かを中学生向けに解説

このページでは、中学1年でつまずきやすい「変域」と「開区間・閉区間」について、理系が苦手な中学生でもイメージしやすいように、具体例と図のイメージを交えながら丁寧に解説します。​

変域の意味から、開区間・閉区間の違いと覚え方、そして一次関数や分母が0にならない場合などの実際の問題への使い方まで一気に整理できる内容になっているので、このページを読み切ればテストや入試で出てくる「範囲の問題」に自信を持って取り組めるようになります。

変域とは何か？

この前のページでは不等式を学習し、数学においては解に範囲が設定されることを学習しました。

ここでは、その変数が「どこまで動けるのか」という範囲に注目します。

中学数学では、この範囲を変域と呼びます。

今後学習する比例や一次関数の学習では必ず登場し、関数の理解を支える基礎となる考え方です。

ここでしっかり押さえておくと、今後のグラフ問題がとても扱いやすくなります。

変域の定義

変域とは、変数（$x$や$y$）が取り得る値の範囲を表す数学の用語です。

例えば、時間$x$が0≦$x$≦5の範囲で考えられるという状況なら、「$x$の変域は0から5」と言い、不等式や数直線を使って表します。

中学生にとっては少し抽象的に感じることもありますが、イメージとしては「変数が自由に動けるエリア（範囲）」と考えると理解しやすくなります。

数学の問題では、$x$や$y$の値は何でも自由に取れるわけではなく、必ず「現実の制約」が存在します。

水槽に水を入れる時間ならマイナスは取れませんし、歩く距離も急に100kmのような極端な値にはなりません。

このような現実の状況を数学的に整理するために変域が必要になるのです。

中学1年での変域

中学1年では、主に今後学習する比例・反比例の単元で変域を学び始めます。

例えば、比例$y=2x$で

1≦$x$≦3

という$x$の変域が与えられたとします。

このとき、$x$の最小値と最大値を式に代入して

• $x=1$ → $y=2$
• $x=3$ → $y=6$

となり、$y$の変域は2≦$y$≦6と求められます。

このような練習を通じて、「$x$が動くと$y$も動く」という関数の基本的な仕組みを体感できます。

苦手な学生さんがつまずきやすいポイントは「不等式の範囲をイメージできない」ことです。

その場合は、数直線に範囲を色で塗る方法がとても有効です。

視覚的に「この区間だけが有効なんだ」と理解できるため、問題を解きやすくなります。

中学1年の段階で変域をしっかり理解すると、中学2・3年で扱う一次関数や二次関数のグラフ問題がスムーズに進み、点の動きやグラフの範囲指定にも対応しやすくなります。

変域の役割

変域の最も重要な役割は、「関数のグラフが描かれる実際の範囲を決めること」です。

変域を考えずにグラフを描いてしまうと、本来関係のない部分まで線を引いてしまい、問題の状況とズレた解答になります。

例えば、一次関数$y=ax+b$で傾き$a>0$のとき、$x$が大きくなるほど$y$は大きくなります。

この関係を理解したうえで、与えられた変域の端（最小値と最大値）を代入すると、

• $y$の最小値
• $y$の最大値

を求めることができ、関数の動きの範囲を正確に把握できます。

また、変域は数学を学ぶうえでの重要な基礎となります。

高校数学で学ぶ 開区間（含まない）・閉区間（含む） といった考え方に繋がるため、中学の段階で端点をしっかり意識しておくことが大切です。

さらに、変域を正しく扱えるようになると、文章題の理解も大きく進みます。

問題文に示される「制限」や「条件」を数学的に整理する力がつき、入試で頻出の関数問題にも対応できるようになります。

開区間・閉区間の違い

上記で「変域」が、変数が動ける範囲を表すと学びました。

その中で実はさらに重要になるのが、範囲の端（端点）を含むのか、含まないのかという違いです。

ここでは、その違いを数学的に整理するための「開区間」と「閉区間」を解説します。

中学1年では不等式の理解を深める場面で登場し、関数の変域を正確に扱うための基礎になります。

数直線の図と合わせて理解すると、あとで学ぶ関数や入試問題にも強くなります。

開区間の意味と記号

開区間とは、端点を含まない区間のことです。

記号は丸括弧を使って

$(a, b)$

と書きます。

これは

$a<x<b$

という不等式と同じ意味で、$x$は$a$より大きく$b$より小さい範囲を取るけれど、$a$と$b$そのものは含まれません。

中学生向けのイメージで言うと、「1より大きく3より小さい数」のような範囲です。

例えば

(1, 3)

と書いたら、1.0001 や 2.7、2.9999 などは含まれますが、1も3も含まれません。

数直線で表すときは、端点を「穴あき」のまま書くのがポイントです。

苦手な学生さんでも「端点は塗らない」、「内側だけ色をつける」という視覚化をすると理解しやすくなります。

中学1年で登場しやすい例は、分母が0になる値を除外したい場面です。

例えば$y=\frac{1}{x}$のとき、$x=0$は使えません。

この場合の$x$の変域は

• $x$<0
• $x$>0

のように開区間で表します。

開区間の特徴は、「近づくことはできるが到達はできない」 という点です。

数学の世界ではとても大切な感覚で、今後の関数の学習でも活きてきます。

閉区間の意味と記号

閉区間とは、端点を含む区間のことです。

記号は角括弧を使って

$[a, b]$

と書きます。

これは

$a≤x≤b$

という不等式と同じ意味で、$a$と$b$どちらも範囲に含まれます。

数直線のイメージでは、端点までしっかり塗りつぶします。

例として

[1, 3]

なら 1、2、3 のすべてを含む広がりを持ちます。

日常生活の例で言えば、「1時から3時まで」という時間の表現がぴったりです。

1時ちょうども 3時ちょうども含まれ、「端まで含まれる」安心感があります。

数学では、変域を指定するときに頻繁に使われます。

たとえば

0≤$x$≤5

という条件なら、

$x$の変域は

[0, 5]

という閉区間になります。

閉区間の特徴は、「端まできっちり含む」という点で、グラフの端点を丸く塗ることと対応します。

開区間・閉区間の違い比較

ここまでの内容をまとめると、開区間と閉区間の違いは次の表のように整理できます。

開区間は「近づけるけれど入れない開放的な範囲」、閉区間は「端までしっかり含める閉じた範囲」と覚えると、図形的にも感覚的にも理解が進みます。

中学1年の変域では、不等式の等号の有無で自動的に区間の種類が決まります。

• 等号なし → 開区間
• 等号あり → 閉区間

また、数学では半開区間[a, b)（左は含むが右は含まない）なども登場しますが、中学1年ではまず開区間・閉区間の違いを確実に押さえることが最優先です。

この区間の考え方を理解すると、例えば$y=\frac{1}{x}$ の変域がなぜ0を含まない開区間になるのか
が自然に分かるようになります。

関数のグラフで端点をどう扱うかにも関わるため、テストでミスしやすいポイントでもあります。

表のように整理して覚えつつ、数直線の端点の扱いを確認することで、変域の問題に強くなりましょう。

開区間・閉区間の覚え方

ここまででは、開区間と閉区間の意味や記号の違いを具体例とともに確認しました。

しかし実際のテストでは、「どっちがどっちだっけ？」と混乱する中学生がとても多い分野でもあります。

このセクションでは、理系が苦手な学生さんでも直感的に理解でき、 テスト中に一瞬で思い出せる覚え方を整理していきます。

特に記号の形とイメージが結びつくと忘れにくくなるため、視覚的・体感的に覚える工夫を多めに紹介します。

開区間の覚え方

開区間$(a, b)$を忘れないためのコツは、「開いた門」のイメージで覚えることです。

丸括弧 ( ) は形が開いており、まるで門が少し開いているように見えます。

しかし開いているのは見た目だけで、実際には中に入れない——この感覚が、端点を含まない開区間の性質にピッタリ合います。

たとえば(1, 3)であれば、「1と3の手前までは近づけるけれど、その値そのものには絶対に触れない範囲」として捉えられます。

日常の比喩としては、

• 公園の門が開いているけれど、安全点検中で中に入れない
• おにぎりの具が見えるくらい口が開いているけれど、中身まで触れない

など、端点が「見えているのに入れない」状況を考えると記憶に残りやすいです。

また、数直線で端点を「○」で描く習慣をつけると、視覚的に「穴＝含まない」が定着します。

$y=\frac{1}{x}$のように分母が0になるケースでは

$x≠$0 → $x$<0,$x$>0

となり、「ここだけ危険で穴が空いている」という感覚が開区間の理解をさらに深めてくれます。

テスト中は、丸括弧＝開く＝含まないという連想が瞬時にできるよう、繰り返し声に出して練習すると効果的です。

閉区間の覚え方

閉区間$[a, b]$の記憶ポイントは、「閉まった門」「フタが閉まった箱」のイメージを持つことです。

角括弧 [ ] は形がしっかり閉じており、端点まで含む閉区間の性質を視覚的に表しています。

たとえば[0, 5]であれば、0から5の箱の中身すべてが含まれるイメージです。

中学生でも理解しやすい日常例としては

• 弁当箱のフタが閉まり、中に入っているものすべてが含まれる
• 1時から3時までの時間の範囲で、開始も終了も含む「滞在時間」

などが分かりやすく、端点を含む感覚が自然と身につきます。

数直線では端点を「●」で塗りつぶすため、黒丸＝含む＝閉じるという視覚ルールがそのまま頭に残ります。

また、不等式で≤や≥がついたら閉区間という定義と組み合わせると、計算問題でも迷いません。

たとえば

$x$≥0 → [0, ∞)

というように、端点が含まれる方向に角括弧が来ることを意識すると、中1の関数問題でのミスが大幅に減ります。

開区間・閉区間違いの覚え方

ここで、混乱しがちな両者の違いを一瞬で判断するための覚え方をまとめます。

ここでは視覚・イメージ・不等式の3つの軸で整理し、「テストで迷わない頭の作り方」を目指します。

まずは有名な語呂合わせ

• オープン（開く）→ 開区間 → ( )
• クローズ（閉じる）→ 閉区間 → [ ]

この英語との対応で、記号と意味をセットで覚えることができ、中学生には特に効果が高い方法です。

表でまとめると以下の通りです。

また、間違い防止策として、開区間＝危険地帯を除外（分母ゼロなど）というイメージを追加すると、関数の変域計算で特に威力を発揮します。

右と左で含む・含まないが混ざる半開区間 [a, b) なども将来学習しますが、まずは

• 丸＝開 → 含まない
• 角＝閉 → 含む

の基本を徹底することが中1の学習では最重要です。

さらに、通学中にスマホメモで表を確認したり、手を動かして数直線を描いてみると、1週間程度で完全に覚えられます。

理系が苦手な学生さんでも、正しいイメージと記号の対応を押さえれば、後半の変域計算やグラフ問題が一気に解きやすくなります。

変域の求め方

上記では「変域とは何か」「開区間・閉区間の意味」について整理しました。

ここからは実際に変域を求める計算方法を身につけるステップに入ります。

中学数学では比例・反比例から一次関数まで、変域の計算はほぼ必ず登場します。

しかし、やり方が分かればどの問題も同じ流れで解けるため、「ルール化」がとても重要です。

特に理系が苦手な中学生にとっては、以下で紹介する3ステップの固定ルーチンを身につけることで、テスト中のミスが一気に減り、時間短縮にもつながります。

ここでは不等式の読み取り方法や、端点の扱い（開区間・閉区間）までセットで丁寧に確認していきます。

変域を求める基本ステップ

一次関数・比例・反比例など、どんな関数でも変域を求める方法は次の3ステップで統一できます。

ステップ1：xの端点を式に代入してyを計算

たとえば

$y=$−3x+7$、$x$の変域−1≤$x$≤9

が与えられていたとします。

まず両端の$xをそのまま式に代入：

• $x=−1$ → $y=−3(−1)+7=10$
• $x=9$ → $y=−3(9)+7=−20$

このように端点を代入すれば$y$の端も自動的に決まるため、難しいことを考えず機械的に進めてOKです。

ステップ2：yの値を小さい順に並べる

計算結果は

• −20
• 10

大きさ関係は、−20 < 10

したがって$y$の範囲は

−20≤$y$≤10

なぜ並べる必要があるのか？

一次関数は傾きが正か負かで「増える・減る」が決まるため、代入した順に$y$が増えるとは限らないからです。

ステップ3：xの不等号をyに引き継ぐ

$x$の変域が

−1≤$x$≤9（両端含む）

だったため、$y$も両端を含む閉区間になります。

したがって

−20≤$y$≤10

グラフが苦手でも、この3ステップを守れば必ず正しい変域が求められます。

ポイント

この3つをルーチン化できると、難しい関数でも自然と正しい変域を導けるようになります。

不等式から変域を見つける

変域は、与えられた不等式から導けることも多いです。

特に以下のパターンが中学でよく登場します。

条件（分母≠0など）から変域を作る

例：
$y=\frac{1}{x}$

この式では分母が0になってはいけないので
$x≠0$

これは数直線では穴が空いた形の

$x$<0,$x$>0

となり、開区間で表されます。

一次関数でxの範囲が与えられている場合

例：
$y=2x+1$、3≤$x$≤5

端点代入：

• $x=3$ → $y=7$
• $x=5$ → $y=11$

したがって
7≤$y$≤11

傾きの符号で最大・最小の位置を判断

一次関数$y=ax+b$は

• $a>0$（正） → $x$が大きいほど$y$が大
• $a<0$（負） → $x$が大きいほど$y$は小

この「増減ルール」を知っておくと、大小比較が速くなります。

中1での覚え方

「$x$の範囲 × 式 =$y$の端」

というメモを問題横に毎回書くと、手順が安定します。

水槽の水量や距離の増加など、日常の量をイメージするとより理解が深まります。

開区間・閉区間の判定方法

ここで、計算後に必ず必要になる 開区間・閉区間の判定方法 を整理します。

判定の大原則

• 等号なし（<、>） → 開区間（ ）
• 等号あり（≤、≥） → 閉区間 [ ]

これは必ず$y$にも引き継がれます。

例題

$x$の変域 −4≤$x$<6、$y=−\frac{1}{2}x+3$

端点代入

• $x=−4$ → $y=5$
• $x=6$ → $y=0$

傾きが負なので大きいのは5、小さいのは0。

$x$の変域は

• 左端：≤（含む）
• 右端：<（含まない）

したがって$y$の変域は
0<$y$≤ 5

つまり 半開区間（左開・右閉） の形になります。

中学生向けの覚え方としては「等号＝閉じるドア」とするのが直感的で、端点の扱いが一気にわかりやすくなります。

また、最後に数直線で

• ○（開）
• ●（閉）

を描いて確認するとミスが激減します。

変域の実例解説

ここまでは、変域を求める基本ステップや、不等式から範囲を読み取る方法、さらに開区間と閉区間をどう判断するかを確認しました。

ここでは、その知識を実際の問題でどのように使うかを、具体的な例を通して解説します。

理系が苦手な中学生ほど「実例を数多く見る」ことで理解が一気に深まります。

どの例でも共通するポイントは、「$x$の端を代入 → $y$の端を計算 → 増減を確認して並べる」という一連のルーチンを必ず守ることです。

この流れを体で覚えるだけで、テストの変域問題はほぼ確実に解けるようになります。

簡単な変域例1：一次関数

まずはもっとも基本的な一次関数の変域例です。

例1

一次関数$y=2x−1$で、

1≤$x$≤4

のとき、$y$の変域を求めてみましょう。

まずは端の値を代入します。

• $x=1$ → $y=2(1)−1=1$
• $x=4$ →  $y=2(4)−1=7$

この関数は傾き$a=2>0$なので増加関数です。

「右にいくほど上がる」関数なので、$x$が小さいときに$y$も小さく、$x$が大きいときに$y$も大きくなります。

したがって、$y$の最小値=1、最大値=7となり、

1≤$y$≤7

が変域です。

理系が苦手な学生さんは、必ず「$x$の端 → $y$の端」の順に計算してから大小を並べるようにしてください。

グラフを軽くイメージするだけでも正確さが上がります。

もうひとつ例を見ておきましょう。

例2

$y=−3x+7$,−1≤$x$≤9

代入してみます。

• $x=-1$ → $y=−3(−1)+7=10$
• $x=9$ → $y=−3(9)+7=−20$

傾き$a=-3<0$なので減少関数。

「右にいくほど下がる」グラフです。

そのため、$x$が小さいときに$y$が最大、大きいときに最小になります。

よって$y$の変域は

−20≤$y$≤10

この型は一次関数の変域問題の8割を占めるため、「増加ならそのまま、減少なら逆順」をぜひセットで覚えておきましょう。

変域例2：分母が0にならない場合

次に、分母が0になると定義できない関数の例です。

中学後半〜中2でよく出てきます。

例1

$y=\frac{1}{x}$

分母$x$が0のとき定義できないので、

$x$≠0

この条件だけで、$x$の変域は

$x$<0,$x$>0

つまり「0を飛ばした全実数」です。

このとき$y$も同じく負の領域と正の領域に分かれ、

$y$<0,$y$>0

となります。

数直線で$x$=0に「穴」を描くと視覚的に理解しやすいです。

分母があるときは 「最初に分母≠0を書く」 ことを徹底するだけでミスはほぼゼロになります。

変域例3：実数解の範囲

最後に、実数として定義できる範囲から変域を考える例です。

例：一次関数で範囲から求める場合

$y=−x$,0≤$x$≤5

端点を代入すると、

• $x=0$ → $y=0$
• $x=5$ → $y=-5$

減少するため並びは

−5≤$y$≤0

端点に等号があるため区間は閉区間になります。

まとめ

変域とは、「変数がどこまで動けるか」という値の範囲を表す考え方であり、比例・一次関数・分数式などあらゆる関数問題の土台になります。​

その範囲をより正確に扱うために、端点を含まない開区間と、端点を含む閉区間を区別して表現し、不等式や数直線・グラフと結びつけて考えられるようになることが、中学数学から高校数学へつながる重要な一歩です。​

ページ後半で扱った「端点を代入する3ステップ」と「等号の有無で開区間・閉区間を決めるルール」をセットで身につければ、文章題や応用問題でも落ち着いて変域を求められるようになり、関数分野全体への苦手意識を大きく減らすことができます。

練習問題

問1

一次関数$y=3x−2$で、0≤$x$≤4のとき、$y$の変域を求めなさい。

問2

一次関数$y=−2x+5$で、−3≤$x$≤2のとき、$y$の変域を求めなさい。

問3

次の関数について、$x$の変域が1<$x$≤5のとき、$y$の変域を求めなさい。

$y=−x+6$

問4

あるタンクに毎分6L の速さで水を入れます。タンクに入っている水の量$y$(L) と、水を入れてからの時間
$x$(分) の関係は、$y=6x$で表されます。また、タンクの容量は60Lです。

（1）タンクに水を入れられる時間$x$の変域を答えなさい。
（2）そのとき、$y$の変域を答えなさい。
（3）タンクの容量オーバーにならないようにするため、水量が20L以上60L以下となるのは$x$のどの範囲か、$x$の変域で答えなさい。

解答

問1

$y=3x−2$,0≤$x$≤4 のとき

• $x=0$ → $y=−2$
• $x=4$ → $y=10$

傾き>0（増加）なので
−2≤$y$≤10
​

問2

$y=−2x+5$,−3≤$x$≤2 のとき

• $x=−3$ →$y=11$
• $x=2$ → $y=1$

傾き<0（減少）なので（小さい方→大きい方に並べ替え）
1≤$y$≤11

問3

$y=−x+6$,1<$x$≤5 のとき

• $x=1$（含まない）→ $y=5$（含まない）
• $x=5$（含む）→ $y=1$（含む）
  減少関数のため大小反転に注意して

1≤$y$<5 （区間表記 [1,5)）

問4

関係：
$y=6x$、タンク容量60L

（1）時間
$x$の変域：
$6x$≤60,$x$≥0 より

0≤$x$≤10(分)

（2）そのときの$y$の変域：

$x=0$→0、$x=10$→60より

0≤$y$≤60(L)

（3）
20≤$y$≤60 となる$x$の範囲：

20≤$6x$≤60 → 両辺を6で割ると

$\frac{10}{3}$≤$x$≤10(分)