弧の長さと中心角の求め方を完全解説｜おうぎ形の基本から公式の使い方まで徹底理解

中学数学では、これまでの学習で学んできた図形のほかに新しく「おうぎ形」という図形を学習していきます。

図形の学習まで来ると、新しく数学の知識を学ぶことに対して抵抗感が生まれている学生さんも少なくないと思いますが、おうぎ形は円の特徴が身についていれば、そんなに難しくありません。

このページでは、新しい図形「おうぎ形」についての特徴や、おうぎ形の計算問題に関する内容を解説していきます。

 

弧と中心角の関係を理解するために知っておくべき基本

中学校の数学で学習する「おうぎ形」は、単なる図形ではなく、円の性質を具体的に理解するための重要なステップです。

その中でも、「弧の長さ」や「中心角の求め方」は、おうぎ形の中核をなす知識です。

多くの中学生が「公式は知っているけれど、なぜそうなるのかが分からない」「公式をどの場面で使えばよいのか迷ってしまう」と感じています。

しかし、実はこれらの計算はすべて円との比率に基づいており、理屈が分かれば非常にシンプルです。

まずは「弧」や「中心角」という言葉の意味を丁寧に確認しながら、学びを深めていきましょう。

 

「弧」とは何か？─円の一部分という視点

では早速おうぎ形の1つ目の構成要素の「弧」について見ていきます。

結論からですが、「弧」とは、円周の一部分のことを指します。

たとえば、コンパスで円を描いたとき、その円の外周全体が円周と呼ばれますが、その一部だけを切り取った部分が「弧」です。

おうぎ形とは、弧とそれに対応する2本の半径（中心から弧の両端に引かれた線）によって構成される図形です。

弧の長さは「円周の何分の何か」

弧の定義に触れたところで、弧の長さを求める公式から説明していきます。

弧の長さを求める公式の説明に入る前に、復習として円周の長さを求める公式を振り返っておきます。

円の全周（つまり円周）は、公式で次のように表されます。

円周=$2\pi r$

ここで$r$は円の半径です。

この円周のうち、何度分を切り取ったか（中心角）によって弧の長さが決まります。

つまり、弧の長さとは、円周の中で「何度分」かを示す長さ

という見方が重要です。

弧の長さの公式｜なぜこうなるのかを丁寧に説明

弧というのが円周の一部であることを円周の公式から振り返ったところで、このことを数式で表現していきます。

このことを数式で表現したものが弧の長さを求める公式になります。

弧の長さ（$L$）を求める公式は以下のようになります。

$L=2\pi r \frac{\theta}{360}$

となります。

ここで、

• $L$：弧の長さ
• $r$：半径
• $\theta$：中心角（度）

なります。

この公式の意味は、次のように解釈できます。

半径$r$の円周のうち、何度分の長さを占めているのか？

つまり「円全体を360°としたとき、何度分を使っているか」の割合を円周にかけているのです。

このことを踏まえて下記の例を使って公式の意味を考えていきましょう。

【具体例1】半径4cm、中心角90°のときの弧の長さ

この条件に弧の長さの公式を当てはめると、

$L=2\pi 4 \frac{90}{360}=2\pi 4 \frac{1}{4}=2\pi$cm 

これにより、弧の長さが $2\pi$cmであることが分かります。

 

公式を覚えるだけでは足りない｜「意味」と「比率」で理解する

数学では「公式を覚えること」が目標になってしまいがちですが、重要なのは「なぜその式になるのか」「何を表しているのか」を理解することです。

弧の長さの公式が「$2\pi r ×\frac{中心角}{360}$」となっているのは、円を360°で見たときに、どれくらいの割合の弧を取り出しているかを表しているからです。

「分数の考え方」がベースになっており、以下のように整理するとより理解しやすくなります。

用語	意味
$2\pi r$	円周全体の長さ
$\frac{\theta}{360}$	全体360°のうちの占有割合
$L$	取り出した弧の長さ（答え）

このように要素を1つずつ見ていくと、数式の意味を考えやすくなります。

 

中心角の求め方｜弧の長さと半径から逆算する方法

次に、弧の長さと半径が分かっているときに、中心角を求める方法を説明します。

改めて中心角とは、弧の両端と2本の半径との間の角のことです。

そして、この中心角を求める公式は下記の式になります。

$\theta=\frac{L}{2\pi r}360$

この式は、先ほどの弧の長さの公式を変形したものです。

言い換えれば「弧の長さが円周の何分の1か」から、角度に換算しているという考え方です。

このことを踏まえて下記の例で公式の意味を見ていきます。

【具体例2】弧の長さ 3πcm、半径3cmのとき

この条件の時の中心角の大きさは

$\theta=\frac{3\pi}{2\pi 3}360=\frac{1}{2}360=180°$

このように、弧の長さから逆に角度を出す問題も定期テストでよく出題されます。

 

弧の長さに関するよくある間違いと注意点

ここまでの説明で、弧の長さを求める公式と中心角を求める公式をそれぞれ紹介してきましたが、これらの公式を学習していく際によくある間違いや注意点について触れておきます。

●間違い1：公式の分母を「360」ではなく「180」にしてしまう

まず1つ目は分母の間違いです。

弧の長さは、円に対する割合を考えるものだったので、円が一周360°で構成されているため、必ず分母は360でなければなりません。

●間違い2：半径と直径を混同する

2つ目は半径の設定についてです。

公式では「半径$r$」を使います。

直径は$2r$に相当するため、値をそのまま使うと誤答になります。

●間違い3：π（パイ）を途中で計算してしまう

中学校の数学では「$\pi$はそのまま表す」ケースが多いため、最終的な答えを「〇〇$\pi$cm」や「〇〇$\pi$cm²」の形にすることが求められます。

 

実生活にひそむ「おうぎ形」と弧の考え方

ここまで弧の長さと中心角について学習内容として触れてきました。

こういったことばかりを説明していると、数学の学習は、「なぜこんな計算をするのか？」という疑問を持つことが多くなると思います。

ですが、こういった疑問を持つことで理解がより深まっていくのも事実です。

今回の学習内容においては、弧やおうぎ形は、私たちの生活の中でも多く見られるため日常生活の中でもこの知識は活かすことができます。

たとえば、下記のようなところにおうぎ形や弧の長さの知識は見出せます。

• ピザやケーキを切り分けたとき
• 時計の針が動く角度（円の一部）
• 扇風機の首振り角度
• 道路に設置されたカーブミラーの形状

これらはすべて、「弧」「中心角」「おうぎ形」に関係しています。

 

弧や中心角の計算手順を整理しよう｜問題を解くときの考え方

ここまでで紹介した公式をしっかり使いこなすには、計算の手順を頭の中で整理することが重要になります。

そのために、ここでは弧の長さや中心角の計算をスムーズに進めるための手順を明確にしておきます。

弧の長さを求める手順

まずは弧の長さを求める手順からです。

基本的には下記の流れに沿って考えていくようにすることをおすすめします。

1. 半径$r$と中心角$\theta$の値を確認する
2. 弧の長さの公式に当てはめる$L=2\pi r \frac{\theta}{360}$
3. 分数の計算を先に行う（約分できるか確認）
4. 必要に応じて$\pi$をそのまま、または3.14で近似して計算する

中心角を求める手順（逆算）

次に中心角を求める手順です。

1. 弧の長さ$L$と半径$r$を確認する
2. 中心角の公式に当てはめる$\theta=\frac{L}{2\pi r}360$
3. 分母・分子を整理して、簡単にしてから計算
4. 単位（度）をつけて答える

 

弧や中心角の計算にチャレンジしよう｜基本から応用までの例題

それでは、上記の内容を参考にしながら、実際に問題を通して理解を深めていきましょう。

まずは基本的な問題から応用的な出題パターンまで、順に整理していきます。

【例題1】半径と中心角から弧の長さを求める（基本）

問題

半径6cm、中心角60°のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。

解答の流れ

$L=2\pi 6 \frac{60}{360}=2\pi 6 \frac{1}{6}=2\pi$cm

答え： $2\pi$cm

【例題2】弧の長さと半径から中心角を求める（逆算）

問題

弧の長さが $3\pi$cm、半径が3cmのとき、中心角を求めなさい。

解答の流れ

$\theta=\frac{3\pi}{2\pi 3}360=\frac{1}{2}360=180°$

答え： 180°

【例題3】弧の長さを近似値で求める（πを3.14として）

問題

半径4cm、中心角45°のときの弧の長さを、小数で求めなさい（$\pi$≒ 3.14）。

解答の流れ

$L=2\pi 4 \frac{45}{360}=2\pi 4 \frac{1}{8}=\pi$

答え： 約3.14cm

 

応用問題にチャレンジ！図形全体を使った総合的な出題例

上記では基本問題を行いました。

基本問題以外にも中学の定期テストでは、単に公式を使うだけでなく、文章問題や図を読み取って条件を整理しながら計算する問題もよく出題されます。

以下に、実際に出題されやすい応用例を紹介します。

【例題4】図形の面積と弧の長さを組み合わせて考える問題

問題

半径5cmの円の中で、中心角が72°のおうぎ形があります。
① このおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
② このおうぎ形の面積を求めなさい。

解答

①弧の長さ

$L=2\pi 5 \frac{72}{360}=2\pi 5 \frac{1}{5}=2\pi$

② 面積（後半で詳述予定ですがここで計算）

$S=\pi r^2 \frac{72}{360}=\pi 5^2 \frac{1}{5}=5\pi$

答え：
① 弧の長さ：$2\pi$cm
② 面積：$5\pi$cm²

 

計算に強くなるためのヒント｜ミスを防ぐために確認したい3つのこと

上記の計算問題のように、おうぎ形の計算問題は計算過程が多いため、計算ミスがよくある問題になります。

そのため、計算問題では、公式の理解だけでなく、ケアレスミスを防ぐ視点も大切です。

では、どういった点に注意すればいいのか見ていきましょう。

①単位を最後まで忘れない

1つ目は単位のミスに気を付けるようにしましょう。

• 弧の長さ → cm
• 面積 → cm²
• 中心角 →°（度）

②途中式は省略しない

2つ目は途中式を省略しないということです。

途中を飛ばして計算すると、約分や$\pi$の扱いを誤ることが増えます。

可能な限り、1行ごとに式を展開する癖をつけましょう。

③ πをそのまま残すか、3.14で計算するかは問題の指示に従う

3つ目は円周率の取り扱いに注意するということです。

「円周率を|pi$のままで」「円周率は3.14として計算」といった指定に注意が必要です。

 

弧の長さの求め方が役立つ実生活での場面

ここまでの学習内容は日常生活でも活かすことができると上述しましたが、実際に活かされる場面をいくつか簡単に紹介していきます。

具体例①：ピザやケーキのスライス

「1カットが何度なのか？」「外周が何cmか？」といった問題を考えるとき、中心角や弧の長さの知識がそのまま使えます。

具体例②： 時計の針の動き

1分で短針がどれくらい動くか、1時間で長針が何度動くかなども弧の考え方に直結します。

具体例③ ：扇風機の首振りや回転式監視カメラの動き

「90°の範囲で動く」など、中心角の値が実際の動作範囲に当てはまります。

このように、計算だけで終わらせずに、日常のものとつなげて考えることが理解を深める鍵になります。

 

面積の求め方を理解しよう｜おうぎ形の最重要公式のひとつ

ここまでの学習は弧の長さと中心角の大きさを求める公式を解説してきました。

そして、おうぎ形の学習で最後に身につけておきたいのが「面積の求め方」です。

弧の長さや中心角と同様に、円全体との比率に基づいて計算されます。

面積の公式とその意味

では早速おうぎ形の面積の公式の解説を行います。

おうぎ形の面積$S$は、以下の公式で求めます。

$S=\pi r^2 \frac{\theta}{360}$

ここで、

• $r$：円の半径
• $\theta$：中心角（°で表す）
• $\pi r^2$：円全体の面積

つまり「円全体の面積 × 中心角の割合（360分の$\theta$）」で求められます。

弧の長さの公式がしっかりとりかいできていれば、とてもシンプルな構造のように感じる公式です。

 

面積計算の例題で理解を深めよう｜基本から応用へ

この面積の公式を早速例題を使って考えてみましょう。

【例題1】基本：面積を求める

問題

半径3cm、中心角90°のおうぎ形の面積を求めなさい。

解答：

$S=\pi 3^2 \frac{90}{360}=9\pi \frac{1}{4}=\frac{9}{4}\pi$

答え： $\frac{9}{4}\pi$ cm²

【例題2】円周率を3.14で計算する問題

問題

半径4cm、中心角60°のおうぎ形の面積を求めなさい（$\pi$≒ 3.14）。

解答

$S=\pi 4^2 \frac{60}{360}=16\pi \frac{1}{6}=\frac{16}{6} 3.14≒8.37$

答え： 約8.37cm²

【例題3】中心角を逆算する（面積→中心角）

問題

半径6cmのおうぎ形の面積が18$\pi$cm²のとき、中心角を求めなさい。

解答

$18\pi =\pi 6^2 \frac{\theta}{360}$
$18\pi =\pi 36 \frac{\theta}{360}$
$18=\frac{\theta}{10}$
$\theta =180°$

答え：180°

 

総合問題で理解を深めよう｜複合的に問われる力を鍛える

ここからは、これまでの知識を組み合わせて解く「総合問題」を紹介します。

テストや模試ではこの形式がよく出題されます。

【例題4】すべての要素が問われる問題

問題

半径5cm、中心角144°のおうぎ形がある。以下の問いに答えなさい。
① 弧の長さを求めなさい。
② 面積を求めなさい。
③ このおうぎ形は円全体の何分のいくつかを答えなさい。

解答

①弧の長さ

$L=2\pi 5 \frac{144}{360}=2\pi 5 \frac{2}{5}=4\pi$

②面積

$S=\pi 5^2 \frac{144}{360}=\pi 25 \frac{2}{5}=10\pi$

③割合

144°は360°の$\frac{2}{5}$に相当

答え

① $4\pi$cm
② $10\pi$cm²
③ $\frac{2}{5}$

 

よくあるミスとその防ぎ方｜計算が合わないときに見直すべきポイント

ここまでおうぎ形の関する公式を一通り見てきました。

そこで、ここでは、おうぎ形の問題でよく見られる間違いを以下にまとめました。

スムーズに解けない場合は、まずここをチェックしてみてください。

πを計算に入れていない

公式に$\pi$が入っているのに、計算で除外してしまうミス。

こういったミスの対策は、式の中に必ず$\pi$、最後に近似計算するか判断する。

分母・分子の計算ミス

例えば、$\frac{90}{360}$を$\frac{1}{3}$と間違えるなどです。

約分ミスの対策としては、時間はかかりますが、小さな約数（例えば2）などから約分できるかを考えていくようにしてみましょう。

単位の付け忘れ

3つ目のミスは単位をつけ忘れてしまうというものです。

「cm」と「cm²」、「°」を取り違えるのは減点ポイントです。

このミスの対策は、答えを出した後に必ず単位をつけたかを確認する癖をつけておきましょう。

 

まとめ

このページでは、おうぎ形の特徴や計算について解説をしていきました。

改めての復讐ですが、おうぎ形に関する計算はすべて「円全体との比率」を基準として行われます。

弧の長さ、中心角、面積はいずれも公式に当てはめることで簡単に求めることができます。

これらを正確に理解し活用することで、中学数学における図形問題では考え方の幅がかなり広がってきます。

おうぎ形の知識は平面図形に限らず、空間図形でも利用することができるので、今回学習した内容をしっかりと理解して、引き続き学習を進めていくようにしましょう。