中学数学の「絶対値」とは？意味・性質をやさしく解説

絶対値とは、中学数学で初めて学ぶ抽象的な量ですが、実は日常生活でよく使う「距離」という考え方にとても似ています。

このページでは、絶対値の意味や基本的な記号の使い方、そして知っておくべき重要な性質について、わかりやすく丁寧に解説します。

正の数や負の数が混ざる計算でも必須のテーマなので、しっかり理解して数学力をアップしましょう。

絶対値とは？中学数学で学ぶ基本

前の解説ページでは、正の数と負の数の基本を解説してきました。

ここからは、正の数負の数が登場する計算を進めるうえで必ず理解しておきたい重要テーマである「絶対値」を学んでいきます。

絶対値は、中学数学で初めて出会う「抽象的な量」ですが、実は日常の「距離」という考え方と深い関係があります。

意味がわかれば難しくないため、はじめて学ぶ人でもしっかり理解できるように丁寧に説明していきます。

絶対値の意味と考え方

まずは絶対値の定義から解説します。

絶対値とは、数直線上でその数が 0（原点）からどれだけ離れているかを表す量です。

距離を表すため、絶対値は必ず0以上の値になります。

これを「非負性（ひふせい）」といいます。

たとえば、数直線上で+3は0から右へ3離れており、-3は0から左へ3離れています。

方向は違っても「0から3離れている」という点は同じなので、

となります。

このように、絶対値は符号（＋や−）を気にせず、純粋な距離として考える量であることが大切です。

また、0は原点そのものなので、距離は0です。

つまり、0の絶対値は0になります。

数直線で考えるととてもわかりやすく、絶対値とは「その数が原点からどれくらい離れているか」を表す直感的な量であることが理解できます。

絶対値を表す記号と使い方

絶対値は、縦線「｜｜」で数や式を挟むことで表します。

この縦線を「絶対値記号」と呼びます。

例

｜3｜＝3

｜−5｜＝5

絶対値記号の中に入る数が次のどちらかで値が変わります。

• 正の数のとき：そのままの値になる
  例）｜7｜＝7
• 負の数のとき：符号を変えて正の数になる
  例）｜−8｜＝8

このとき便利なのが「場合分け」の考え方です。

• 数が正のとき：｜$a$｜＝$a$
• 数が負のとき：｜$a$｜＝−$a$（ただし−$a$は正の値）

中学生の計算でよく使うため、このルールは必ず覚えておきましょう。

絶対値は計算だけでなく、式の中の一部として使われることもあります。

たとえば、

｜5−8｜＝｜−3｜＝3

のように、中の式を計算してから絶対値を求める流れが一般的です。

絶対値が持つ重要な性質

絶対値には、中学数学で知っておくべき重要な性質がいくつかあります。

これらは絶対値の考え方をより深く理解する助けになります。

非負性（ひふせい）

絶対値は距離なので、必ず0以上になります。

例）｜−10｜＝10（必ずプラス）
例）｜0｜＝0

偶性（ぐうせい）

正負の符号を入れ替えても絶対値は同じになる性質のことです。

「対称性」と言ったりもします。

数学的には ｜$a$｜＝｜−$a$｜ と表します。
例）｜4｜＝4、｜−4｜＝4

基本的な計算の性質

• 0の絶対値は0（｜0｜＝0）
• 同じ距離にある数は絶対値が同じ
• 「大きさ」を比較するときに便利（例：絶対値が大きいほど原点から遠い）

絶対値は、負の数や数直線の学習が進むほど活躍し、方程式や不等式にもつながる重要な概念です。

ここでしっかりと仕組みを理解しておくと、今後の数学学習がとても進めやすくなります。

正の数・負の数と絶対値の関係

上記では「絶対値とは何か」「絶対値が距離を表す量であること」を学びました。

ここではさらに一歩進んで、正の数と負の数で絶対値がどのように変わるのか、そして絶対値を使った大小比較の考え方について学んでいきます。

正負の数が混ざる計算では、絶対値の理解がとても重要になります。

正の数・負の数をそれぞれ分けて考えると理解しやすくなるため、順番に整理していきましょう。

正の数の絶対値の求め方

正の数の絶対値は、その数自身とまったく同じ値になります。

これは、正の数が数直線上で0より右側にあり、その距離をそのまま読むことができるためです。

たとえば、+3という数があるとします。

数直線では0より右に3離れた場所にあります。

そのため、+3の絶対値は「0から右へ3の距離」で、

｜+3｜＝3

となります。

このように、正の数の絶対値では符号を変えたりする必要はなく、そのまま読めば良いのでとてもシンプルです。

（例）｜7｜＝7、｜2.5｜＝2.5

絶対値記号に慣れないうちはやや難しく感じるかもしれませんが、正の数の場合は単純に「そのままの値」と覚えておくことで、スムーズに計算できます。

負の数の絶対値の考え方

一方、負の数の場合は、絶対値を求めるときに少し工夫が必要です。

負の数は数直線上で0より左にあり、その距離は「左へどれだけ離れているか」を表します。

しかし、距離は必ず0以上でなければならないため、負のままでは距離として扱うことができません。

そこで、負の数の絶対値では 符号（マイナス）を取り除いて正の数にする必要があります。

数学的には、「負の数$a$の絶対値は−$a$」と表されます（−$a$は正の値になる）。

たとえば、−5を見てみると、数直線では0から左へ5離れています。

距離として考えるときは符号に関係なく「5離れている」と考えるので、

｜−5｜＝5

となります。

他の例を見ても、

｜−12｜＝12

｜−1.8｜＝1.8

など、負の数の絶対値は符号をなくした値（正の値）として扱います。

ここで改めて強調したいのは、絶対値は「距離」であるため 必ず0以上になるということです。

正の数も負の数も、絶対値を求めたあとは「大きさ」のみが残り、符号の情報は消えます。

絶対値の大小比較と注意点

ここまで見てきたように、正の数と負の数では絶対値の求め方が異なります。

この違いを理解しておかないと、絶対値の大小比較で間違えやすくなります。

特に注意したいのが、絶対値の大きさと実際の数の大きさは必ずしも一致しないという点です。

たとえば次の二つを比較してみましょう。

−8と−3

絶対値を比べると、

｜−8｜＝8

｜−3｜＝3

となり、絶対値は−8のほうが大きくなります。

しかし、実際の数の大小を比べると、

−8 ＜ −3

です。

負の数では、絶対値が大きいほど数としては小さくなるという特徴があります。

逆に、正の数では絶対値の大小と数の大小は一致します。

5の絶対値は5

8の絶対値は8

当然、5 ＜ 8 です。

また、正負が混ざる場合は数直線で考えるとわかりやすくなります。

たとえば、

+4と−6

の絶対値を比較すると、

｜+4｜＝4

｜−6｜＝6

となり、絶対値は−6のほうが大きくなります。

しかし、数としては

−6 ＜ +4

となり、位置は全く違います。

絶対値の大小比較は「どちらが原点から遠いか」という比較であって、数の大小とは別物であることをぜひ覚えておきましょう。

数直線で見る絶対値の考え方

ここまでは、正の数と負の数における絶対値の扱い方や、絶対値の大小比較で注意すべき点について学びました。

ここでは、絶対値をもっと直感的に理解できるように、数直線を使って絶対値を視覚的に整理する方法を学びます。

絶対値を距離として捉えることは、中学数学だけでなく、高校以降の数学を学ぶうえでも重要な基礎になります。

数直線のイメージをしっかり掴むことで、絶対値に対する不安やわかりにくさを解消できるようにしていきましょう。

絶対値は数直線上の原点からの距離

改めて絶対値の定義を振り返ると、絶対値とは、数直線で「0（原点）」からその数がある位置までの距離を表す量です。

距離は必ず0以上になるため、絶対値も常に0以上です。

この性質を「非負性（ひふせい）」と呼びます。

たとえば、数直線を横に描いたとき、

+3は0より右へ3離れた位置

−3は0より左へ3離れた位置

にあります。

しかし、どちらも「0から3離れている」という点では同じです。

そのため、

｜+3｜＝3

｜−3｜＝3

となり、符号が違っても絶対値は同じ値になります。

このように、絶対値は「方向」を無視して「どれだけ離れているか」という量だけに注目します。

これは、道のり・距離・幅など、日常生活にある「大きさ」や「長さ」と同じ考え方です。

絶対値に苦手意識を持っている人でも「距離」として考えると理解しやすくなります。

正の数と負の数の位置関係を理解しよう

数直線では、以下のように数が配置されています。

• 正の数は原点より右側にある
• 負の数は原点より左側にある

この位置関係を押さえることが絶対値の理解には欠かせません。

たとえば、+5は原点から右へ5の距離に位置し、−5は原点から左へ5の距離に位置しています。

左右で位置は異なりますが、どちらも「5離れている」ことは同じです。

つまり、+5と−5の絶対値は同じ5になります。

また、数直線を頭の中でイメージすることはもちろん、実際に自分で紙に数直線を描いてみると理解がぐっと深まります。

数直線を描くときは、

1. 0（原点）を中央に書く
2. 右側に正の数、左側に負の数を書き込む
3. 点と点の間隔を一定に保つ

このように丁寧に描くことで、正負の位置関係が視覚的にわかり、絶対値の意味がすっきり整理できます。

数直線を使った絶対値の具体的な表し方と計算

絶対値を表すときには、縦線「｜｜」で数を挟む記号を使います。

これは、中学生以降の数学で広く使われる大切な記号です。

例として、次の絶対値を見てみましょう。

｜4｜＝4
→ 4 は 0 から右へ4離れているため、そのまま4

｜−7｜＝7
→ −7は0から左へ7離れているため、距離として7になる

このように、絶対値の計算は「数直線で原点からどれだけ離れているか」を考えるととても理解しやすくなります。

絶対値記号の中身が正の数か負の数かによって、記号の外し方が次のように変わります。

中身が正の数のとき：そのままの値になる
例）｜8｜＝8

中身が負の数のとき：符号を変えて正の数にする
例）｜−9｜＝9

この基本ルールを覚えておけば、どんな数の絶対値でも迷わず求めることができます。

さらに、絶対値記号の中に式が入る場合も、まずは中の式を計算してから絶対値を求めるのが基本です。

（例）
｜5−12｜
→ 計算すると−7
→｜−7｜＝7

このように、「まず計算して、次に絶対値を求める」という順番を守ることで、間違いを防ぐことができます。

絶対値の性質と数学的なルール

ここまでは、数直線を使って絶対値を「原点からの距離」として理解する方法を学びました。

ここでは、絶対値が数学的にどのような性質をもっているのか、そして計算するときに覚えておくべき大切なルールについて、さらに深く学んでいきます。

絶対値の性質を理解しておくと、これからの計算問題や方程式、さらには高校数学で扱うより複雑な絶対値の式にもスムーズに進めるようになります。

絶対値はどんな数でも0以上になる（非負性）

絶対値の最も基本的で重要な性質が、絶対値は必ず0以上になるという「非負性（ひふせい）」です。

これは、絶対値が「数直線の原点からの距離」を表しているためです。

距離という量は、現実の生活でもマイナスになることはありません。

たとえば、「家から学校まで−5km」という表現はありえません。

距離は0以上の数字で示されます。

絶対値もこの考え方と同じで、どんな数であってもその距離としての絶対値は必ず0以上の数字になります。

具体例を見ると次のようになります。

｜5｜＝5
→ 原点から右へ5離れている

｜−5｜＝5
→ 原点から左へ5離れている

｜0｜＝0
→ 原点そのものなので距離は0

このように、0の絶対値だけは0になりますが、それ以外の数は必ず正の数になります。

また、絶対値が0になるのは「その数自身が0のときだけ」という性質も重要で、これを絶対値の非退化性（ひたいかせい）といいます。

プラスの数もマイナスの数も絶対値は同じになる（偶性）

絶対値にはもう一つ大事な性質があります。

それが、正の数とその負の数の絶対値は同じになるという性質です。

これを「偶性（ぐうせい）」と呼びます。

数式で表すと

｜$a$｜＝｜−$a$｜

と書けます。

例えば、+7と−7を数直線に並べてみると、どちらも原点から7離れています。

左右対称の位置にあるため、距離としての絶対値は同じ7になります。

｜7｜＝7

｜−7｜＝7

符号（＋か−か）は左右どちらにあるかを示すだけで、距離そのものには影響しません。

このように、絶対値は「大きさ」だけを取り出し、「符号」はすべて取り除く性質をもっています。

この偶性は、中学数学では絶対値の基本ルールとして扱われますが、高校数学では複雑な式を簡単にする際にもよく利用される基礎的な性質です。

絶対値の計算で大切なルール

絶対値の計算を正しく行うには、絶対値記号の外し方をしっかり覚えておくことが大切です。

絶対値記号「｜｜」の中にある数や式が、正なのか負なのかによって、外し方が変わります。

基本ルールは次の通りです。

• 絶対値記号の中身が0以上（正または0）なら、そのままの値になる
  例）｜8｜＝8、｜0｜＝0
• 絶対値記号の中身が負の数なら、符号を変えて正の数にする
  例）｜−9｜＝9

このルールは、中身が単なる数だけでなく「式」のときにも使われます。

例

｜5−12｜
→ 5−12＝−7
→ 中身は負なので符号を変えて
→ ｜−7｜＝7

このように、絶対値を外すときには「中身が正か負か」を必ず確認する必要があります。

この確認作業を場合分けと呼び、絶対値を含む式では特に大切な考え方になります。

また、絶対値は常に0以上になる性質があるため、計算結果がマイナスになった場合は必ずどこかに間違いがあります。

「絶対値は絶対にマイナスにならない」という基本を忘れないようにしましょう。

絶対値記号の使い方と注意点

上記では、絶対値が「数直線で原点からの距離」を表すものであることを学びました。

この考え方は、絶対値を正しく計算するうえでとても重要です。

ここでは、実際に絶対値記号「｜｜」の使い方や、計算するときに注意すべき点について詳しく確認していきましょう。

特に、絶対値を扱うときに多くの中学生がつまずく「中身の数が正か負かで場合分けする」という考え方を丁寧に解説していきます。

絶対値記号の基本的な使い方

絶対値は、数や式を縦棒「｜｜」で挟んで表します。

例えば、

｜3｜

｜−5｜

｜2−7｜

のように、どんな数や式でも絶対値記号で囲むことができます。

ここで大切なのは、絶対値記号は必ず左右がペアになっているということです。

特に式が長い場合や文字式が混ざる場合は、「どこからどこまでが絶対値なのか」を正しく読み取ることが計算の第一歩になります。

たとえば、次の2つは見た目が似ていますが、中身の範囲がまったく異なります。

｜3−5｜+2

｜3−(5+2)｜

最初は「3−5」に絶対値が付いているのに対し、後者は「3−(5+2)」全体が絶対値の中身です。

この違いだけで答えが大きく変わるため、絶対値を見つけたらまず「中身の境界」を正しく把握する癖をつけましょう。

絶対値の中身が0以上のときの扱い

絶対値の中の数が0または正の数のとき、絶対値はそのままの数になります。

例

｜5｜ = 5

｜0｜ = 0

｜3.2｜ = 3.2

これは、「絶対値＝原点からの距離」という考え方に対応しています。

正の数は右側の数直線上にあり、距離はそのままの数です。

0は原点にあり、距離は0です。

絶対値を外すとき、中身が正のときは特に難しいことはしません。

そのまま外してよいという点が重要です。

絶対値の中身が0未満のときの注意点と場合分け

一方、絶対値の中にある数が0より小さい（負の数） 場合は注意が必要です。

負の数は数直線上で原点の左側にあるため、距離を求める際には符号を取り除かなければなりません。

例えば、

｜−7｜ = 7

｜−3.5｜ = 3.5

このとき、単に「符号が変わる」と覚えるだけでなく、「距離を求めるためにマイナスを取り除いている」という意味を理解しておくことが大切です。

なぜ「場合分け」が必要なのか？

絶対値は、中身の正負によって計算方法が変わるからです。

たとえば、

｜$x$｜を絶対値記号の外に出したいとき、$x$が正か負かで次のように異なります。

$x \geqq 0$のとき：｜$x$｜ =$x$

$x < 0$のとき：｜$x$｜ =−$x$

この「場合分け」が非常に重要で、特に文字式を扱う高校数学でも頻出します。

数直線をイメージすると、負の位置にある点を0までの距離として扱うためには、符号を反転させる必要があることが自然に理解できます。

間違えやすい注意点

• 絶対値を外す際に、符号の付け忘れが起こりやすい
  例：｜−(3−8)｜のように中身が式の場合、外す前に中身の符号を確認する。
• 絶対値の外側にある符号と混同しない
  例：−｜−5｜ は−5ではなく−5の絶対値にマイナスがつくため、−5。
• 文字式は「どちらとも決められない」ので必ず場合分けをする
  例：｜$a$−3｜ は ($a$−3) の正負で分ける必要がある。

このように、絶対値は単純な記号に見えても、扱い方には多くの注意点が存在します。

特に負の数が絡むと計算ミスが増えるため、数直線のイメージと照らし合わせながら一つひとつ丁寧に確認することが大切です。

まとめ

このページでは、絶対値の基本と重要な性質などを解説してきました。

絶対値は数直線上の原点からの距離を表し、常に0以上の非負の数である「非負性」と、プラスの数もマイナスの数も同じ絶対値を持つ「偶性」という大切な性質があります。

また、絶対値記号「｜｜」の中身が0以上ならそのままの値になり、0未満なら符号を変えて正の数とするなど、場合分けのルールを覚えることも重要です。

これらの基本を理解すれば、絶対値を含む計算や方程式、不等式の問題にも自信を持って取り組めるようになります。

練習問題

【問1】

次の絶対値を計算しなさい。
(1) ｜5｜
(2) ｜−8｜
(3) ｜0｜

【問2】

次の式の絶対値を外して計算しなさい。
(1) ｜3−7｜
(2) ｜2−10｜
(3) ｜−4+9｜

【問3】

文字式を含む絶対値を、必要に応じて場合分けして表しなさい。
(1) ｜$x$−2｜
(2) ｜3−$y$｜

【問4】

次の式の値を求めなさい。
(1) ｜−5｜−｜2−6｜
(2) 3｜−4｜−（｜5−9｜）

【問5】

次の式を計算しなさい。
(1) ｜−(3−8)｜
(2) ｜4−(1−7)｜

【問6】

ある数直線上で、点A は−3、点Bは4の位置にあります。

(1) 点Aの原点からの距離を絶対値を使って表し、計算しなさい。
(2) 点Bの原点からの距離を絶対値を使って表し、計算しなさい。
(3) 点Aと点Bの間の距離を絶対値を使って表し、求めなさい。

解答

【問1】

(1) ｜5｜=5
(2) ｜−8｜=8
(3) ｜0｜=0

【問2】

(1) ｜3−7｜=｜−4｜=4
(2) ｜2−10｜=｜−8｜=8
(3) ｜−4+9｜=｜5｜=5

【問3】

(1) ｜$x$−2｜

$x \geqq 2$のとき：｜$x$−2｜=$x$−2

$x < 2$のとき：｜$x$−2｜=−($x$−2)=2−$x$

(2) ｜3−$y$｜

$3−y \geqq 0$ （つまり$y\leqq 3$）のとき：｜3−$y$｜=3−$y$

$3−y < 0$ （つまり$y > 3$）のとき：｜3−$y$｜=−(3−$y$)=$y$−3

（文字式の場合は中身の正負で場合分けする）

【問4】

(1) ｜−5｜−｜2−6｜=5−｜−4｜=5−4=1
(2) 3｜−4｜−（｜5−9｜）=3×4−｜−4｜=12−4=8

【問5】

(1) ｜−(3−8)｜
3−8=−5→−(3−8)=−(−5)=5 →｜5｜=5

(2) ｜4−(1−7)｜
1−7=−6→4−(1−7)=4−(−6)=10→｜10｜=10

【問6】

点A=−3、点B=4のとき

(1) 点Aの原点からの距離：｜−3｜=3
(2) 点Bの原点からの距離：｜4｜=4
(3) 点Aと点Bの間の距離：|A − B| = |−3− 4|=|−7| = 7
（距離は |A−B| または |B−A| で表せる）