【今日の問題③】群数列の基本問題

問題

初項が2、公差が3の等差数列を下記のような群に分けます。

2 | 5, 8 | 11, 14, 17 | 20, 23, 26, 29 | 32, 35, 38, 41, 44 | …

この数列について、次の問いに答えなさい。

1. 第n群に含まれる項の数を求めよ。
2. 第n群の初項を求めよ。
3. 第n群の末項を求めよ。
4. 第n群に含まれる項の和を求めよ。
5. 100は第何群の何番目の項か答えよ。

解答

①について

この問題は群数列の問題で、苦手に感じる人も多くいると思います。

ですが、①については群数列が苦手でも簡単に解くことができます。

問題で問われているのは、第n群に含まれる項数ですので、第1群から順にそれぞれいくつ項があるかを見ていきます。

すると、第1群には1個、第2群には2個、第3群には3個・・・となっているため、第n群には「n個」含まれることになります。

よって、第n群の項の数は「n」となります。

②について

②の問題の考え方は、

1. 第1群から第（n-1）群までの項数の和を計算する。
2. 1で求めた和に+1をする。→ （第n群の初項が数列の何番目になるかを求める。）
3. 2で求めた値を等差数列の一般項に代入して解答を求める。

という手順で考えていきます。

まず、第1群から第（n-1）群までの項数の和を求めていきます。

それぞれの群に含まれる項数は、第1群には1個、第2群には2個、、、第（n-1）群には（n-1）個なので、第1群から第（n-1）群までの項数の和は

$1+2+3+・・・+（n-1)$
$\frac{n(n-1)}{2}$

よって、第n項の初項は第1項から数えて$\frac{n(n-1){2}+1$番目となります。

そして、この等差数列の一般項は、初項2、公差3なので、

$a_k=a_1+3(k-1)$
$a_k=3k-1$

よって、第n項の初項の数は、

$a_n=3(\frac{n(n-1)}{2}+1)-1$
$a_n=3(\frac{n^2-n+2}{2})-1$
$a_n=\frac{3n^2-3n+4}{2}$

となります。

③について

第n群の末項の値は、第n群の初項がわかっていれば、すぐに導くことができます。

第n群の第1項から末項までの項数は、n個です。

よって、第n群の末項$b_n$は

$b_n=\frac{3n^2-3n+4}{2}+3(n-1)$
$b_n=\frac{3n^2+3n-2}{2}$

となります。

④について

④は②と③で第n群の初項と末項を求めているので、等差数列の和の公式にそれぞれ代入して求めていきます。

第n群の項数の和$S_n$は

$S_n=\frac{1}{2}n(\frac{3n^2-3n+4}{2}+\frac{3n^2+3n-2}{2})$
$S_n=\frac{n}{2}(\frac{6n^2+2}{2})$
$S_n=\frac{3n^3+n}{2}$

となります。

⑤について

⑤の問題については、地道にあたりをつけて考えていくのが早く導けます。

考え方は、各群の末項を洗い出していき、100が第何群になるのかを考えていきます。

各群の末項を洗い出すと

第1群：2
第2群：8
第3群：17
第4群：29
第5群：44
第6群：62
第7群：83
第8群：107

となり、100は第8群に含まれることが分かります。

ここで、第8群の初項は

$a_8=\frac{3･ 8^2-3･8+4}{2}$
$a_8=86$

となるので、100は「第8群の15番目」ということになります。