空間図形における平面と点の位置関係 ～ねじれの位置の理解とその応用～

平面図形の学習を終えると次に空間図形の学習が始まりますが、空間図形の問題については、算数の時から苦手と感じる学生さんも少なくなかったのではないでしょうか？

数学の空間図形は、算数の時の空間図形よりも知識も多くなり、より苦手に感じる学生さんも増えるものと思われます。

このページでは、空間図形で苦手意識を持たないように、空間図形の基本である平面や直線の位置関係と中学数学で初めて学ぶ「ねじれの位置」について説明していきます。

 

点と平面の関係

まず始めに、面と点の位置関係から解説していきます。

空間における「平面」とは、3つの点を通る広い面のことです。この3つの点が同じ直線上にないことが重要です。例えば、教室の机の上にペンを置くと、そのペンを通る平面は無数に考えられます。

位置関係の分類

点と平面の関係は、以下のように分類できます。

• 平面上にある（点がその平面に含まれている）
• 平面外にある（点がその平面から離れている）

ざっくりと分類すると上記の2つのように分けられます。この2つの関係性をまずは理解しておきましょう。

点の数による平面の決定条件

では、実際に点の数によって、平面がどう決まっていくのかを解説していきます。

空間上の1点が定める平面の特性

始めに、1つの点が決まっている場合を考えます。

1つの点が決まっている場合、その点を通る平面は無数に考えられます。例えば、鉛筆を立ててその周りを回すと、鉛筆を通る平面が無限に存在することがわかります。

以下の図でイメージしてみましょう。

かなりごちゃごちゃして分かりにくいかもしれませんが、青い点が空間に1個だけの時は、その1点だけ通れば、無数に平面が存在できることがイメージできれば問題ありません。

空間上の2点が定める平面の特性

次に2点が定まっている場合を考えます。

2つの異なる点AとBを結ぶ直線を考えると、この直線を通る平面も無数に存在します。つまり、2点を通る直線は、その直線を含む任意の平面に必ず含まれるということです。

以下の図のイメージしてみてください。

青い点2つを結ぶ赤い直線がありますが、この直線上にあれば、平面は無数に存在できることがイメージできるでしょうか？

ただし、1点の時に比べて、平面が存在できる範囲は限定されています。

空間上の3点が定める平面の特性

最後に3点ある場合を考えていきます。

異なる3点A、B、Cが同一直線上にない場合、これらを通る平面はただ1つに決定されます。

シンプルな条件ではありますが、非常に重要なことであるので、しっかりと押さえておきましょう。

イメージすると上記の図のようになります。

ここまでが、点と平面の位置関係に関する解説でした。

シンプルなことは多いですが、いざテストなどで問われると解答できないのがこの分野の難しいところです。なので、簡単だからと油断せずにしっかりと知識を定着させていきましょう。

 

ねじれの位置について

次に、中学数学の図形の問題で躓く学生さんが多い、ねじれの位置について説明していきます。

ねじれの位置とは、2本の直線が平行でも交わってもいない状態を指します。つまり、空間の中でお互いが離れていて、どこかで交わることもない関係です。

イメージが難しいかもしれませんので、先に図を見てみましょう。

上記の図では、直線$l$と直方体があります。

ここで、直線$l$と各辺の位置関係を見ていくと

• $AB、BC、DA、AE、BF$は交わっている（上図の緑の辺）
• $CD、EF、GH$は交わらない（平行であるため、上図の紫の辺）
• $FG、HE、CG、DH$は交わらない（ねじれの位置であるため、上図の赤の辺）

ということになります。

上の図で見た通り、ねじれの位置になるにはある条件を満たす必要があります。それが下記の条件になります。

ねじれの位置になる条件

1. 平行ではないこと

2本の直線が平行であれば、どこまでも同じ距離を保ちながら伸びていきます。これでは「ねじれ」とは言えません。

2. 交わらないこと

2本の直線が交わる場合、それらは同じ平面上にあるため、「ねじれ」とは言えません。

3. 異なる平面上にあること

2本の直線が異なる平面上にある場合、それらはどこにも交わらず、ねじれの位置になります。

これらの条件はねじれの位置を理解するためにとても重要な条件です。

1と2の条件はわかりやすい条件なので覚えることに苦労することはあまりありませんが、3の条件については、忘れてしまいがちな条件であるので、ここで学習するときにしっかりと理解して覚えるようにしましょう。

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平面と直線の位置関係は3種類のみ

続いて、平面と直線の位置関係になります。

平面と直線の位置関係はあまり難しくなく、3種類のみになります。

それぞれ、

• 直線が平面上にある
• 平面と直線が交わる
• 平面と直線が平行の位置関係（交わらない）

それぞれ図で説明すると、下記の図のようになります。

直線が平面上にある

平面と直線が交わる

特に、平面と直線が垂直に交わるときは

$P \perp l$

と表現できます。

平面と直線が平行の位置関係（交わらない）

平行の場合は、

$P /\!/ l$

と表現できます。

 

平面同士の位置関係は2種類のみ

最後に平面同士の位置関係になります。

平面同士の位置関係もあまり難しくなく、2種類のみになります。

それぞれ、

• 平面と平面が交わる
• 平面と平面が平行の位置関係（交わらない）

それぞれ図で説明すると、下記の図のようになります。

平面と平面が交わる

特に、平面と平面が垂直に交わるときは

$P \perp Q$

と表現できます。

平面と平面が平行の位置関係（交わらない）

平行の場合は、

$P /\!/ Q$

と表現できます。

 

まとめ

このページでは、空間図形の基礎の平面や直線の位置関係について解説していきました。

まだ計算問題なども出てきていないため、暗記しなければいけない公式などもありませんが、位置関係の問題の中でも「ねじれの位置」については、入試でも頻繁に出題される問題であります。

簡単な分野だからこそ、しっかりと知識を定着させることで、ケアレスミスやもったいない失点を減らせることができるので、この分野の学習については漏れがないように勉強をしていきましょう。

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