[このページのポイント]
■ある数の増加分に合わせて、もう一方の数も同じだけ増加する関係を「比例」という。
■数の増加分を示す定数を「比例定数」という。
前回の学習内容で関数の基本的な考え方や意味の学習を進めてきましたが、関数を学習する上で考え方の基礎となる2つの数の間にある関係性について、このページでは学習していきます。
第一回として、2つの数の間にある関係性として、ある数の増加分（減少分）に合わせて、もう一方の数も同じだけ増加（減少）する関係を表す「比例」という関係について学習をしていきます。
比例の考え方は、今後の数学の学習をしていく中でも、ベースになる考え方になるものなので、しっかりと理解をしていきながら学習を進めていきましょう。
比例とは？
早速ですが、「比例」について簡単に説明からしていきます。
比例とは上記でも示したように、ある数の増加分（減少分）に合わせて、もう一方の数も同じだけ増加（減少）する関係のことを言います。
ここで、関数について少し振り返りますが、関数の定義は「ある数$x$が決まった時、それに伴ってある数$y$が決まる時、$y$は$x$の関数」ということでした。
つまり、$x$と$y$の間には、それぞれの値を決める何らかの関係があることになります。
関数の定義と比例の定義を結びつけて考えると、「ある数$x$が一定分増加（減少）すると、それに伴って、$y$も一定分増加（減少）する」ということになります。
そして、ここでいう増加分（減少分）を関数の学習では「比例定数」と言っていました。
このように見ていくと、関数の考え方のベースに比例の考え方があるということが分かります。
そのため、比例の考え方をしっかりと理解していくのが、関数の理解を早めるポイントにもなります。
比例の一般形
関数と比例の考え方の結び付けができたところ、比例の関係の一般形を説明していきます。
比例は、「ある数$x$が一定分増加（減少）すると、それに伴って、$y$も一定分増加（減少）する」という定義だったため、これを数式で表すと下記のようになります。
$y=ax（a：比例定数）$
比例の一般形についてはこれからの学習でも頻繁に出てくるものになるので、忘れないようにしておきましょう。
比例定数について
上述した比例定数について、関数のページでも解説しましたが比例定数はどんな数でも問題ありません。
ただし、比例の学習ではもう少し比例定数について身につけておくべき知識があります。
それについては後述します。
比例のグラフ
比例の学習では、グラフでどういった数の関係性になっているかを視覚的に認識していくことも大事になります。
数学では、グラフで2つの数の関係性を理解していくということを頻繁に行っていきます。
その第一歩として比例関係のグラフについて理解を深めていきましょう。
比例のグラフは直線
比例関係のグラフの形は下の図のように、直線の関係になります。
このグラフは$y=2x$のグラフになります。
このグラフを見て分かるように、$x$の増加に合わせて、2倍の量$y$も増加しています。
ここで、なぜ2倍の量増加しているのかというと、このグラフは$y=2x$のグラフであり、比例定数が2であるため、$y$は$x$の2倍の量で増加します。
つまり、$y$の増加分については、比例定数によって変化するということになります。
グラフの傾き
さらにこのグラフから分かることがもう1つあります。
これは緑のグラフが$y=2x$で青のグラフが$y=\frac{1}{2}x$のグラフになります。
これらを比較して比例のグラフは、比例定数によってグラフの角度が変わってきます。
このグラフの角度のことを「傾き」と言います。
グラフの傾きは、比例定数が大きければ大きいほど急になり、小さくなるにつれ角度は緩やかになります。
グラフの傾きから比例定数を求める
さらに、比例の問題ではグラフだけ与えられていて、比例定数が分からない問題もあります。
その場合は、グラフから比例定数を求めることができます。
グラフから比例定数を求める方法は下記の通りです。
$a=\frac{yの変化量}{xの変化量}$
これで本当に求めるのか、いまいちピンと来ていない人のために実例で求めていきたいと思います。
このグラフは先ほどお見せした$y=2x$と$y=\frac{1}{2}x$のグラフになります。
仮にこの2つのグラフの比例定数が分からなかった場合は、下記のように考えていきます。
○緑のグラフの場合
$x$の値が0から1に変化するとき（$x$の変化量1）、$y$は0から2と変化している（$y$の変化量2）
なので、$a=\frac{2}{1}=2$となり、比例定数は2と求まります。
○青のグラフの場合
$x$の値が0から1に変化するとき（$x$の変化量1）、$y$は0から$\frac{1}{2}$と変化している（$y$の変化量$\frac{1}{2}$）
なので、$a=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$となり、比例定数は$\frac{1}{2}$と求まります。
比例定数の符号で形は変わる
そして、最後に比例定数の符号によって、グラフの形は変化します。
ここまで説明してきた比例定数が正の場合は、「右肩上がり」のグラフになりますが、比例定数が負の場合、「右肩下がり」のグラフになります。
実際に確認すると下のグラフのようになります。
緑のグラフが比例定数が正（2）のグラフで、赤のグラフが比例定数が負（-2）のグラフです。
これらの違いや特性を理解して学習の理解を深めていきましょう。
まとめ
このページでは、関数に続いて比例の関係について解説をしていきました。
グラフが出てくるといよいよ数学の学習が始まってきた感じが出てきます。
そして、この辺りからどんどんと難しい考え方が出てきたり、応用問題も多くなってきて、数学に挫折してしまう人も増えてくる分野になってきています。
ですが、丁寧に学習を進めていき、確かな知識を身につけていくようにしましょう。
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